math/03 のバックアップ(No.11)

円周率を求めよう！

中学生にも理解できる範囲で、円周率の計算方法を説明できないかと言われて、考えた話。
読み物としてちょっと面白いだけで、学術的価値はありません。

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円周率パイ

円周率パイは、中学の範囲では、おそらく次のように認識されているでしょう。
```
円周と直径の比。もしくは、直径が1の円の円周。
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 ...
```
- パイをギリシア文字で書きたかったんですが、ブラウザによってはきれいに出ないので、カタカナにしました。ご了承ください。
ということで、普通に考えると、円周率を100桁、1万桁、・・・と計算するには、とにかく正確にまんまるの物質を探して、これの円周と直径をとにかく正確に測って、割り算すればいいと思うでしょう。
しかしこの方法では100桁を正確に求めることはできません。そこまで精度のよい測定機器（ものさし）がまだないからです。
仮に測定器の精度の問題が解決したとしても、まだ問題はあります。その丸い物体はきっと原子でできています。ということは、本当はまんまるではなく、拡大してみれば原子くらいの大きさの凹凸があるでしょう。
この凹凸が円周率の計算にどのくらい影響するのか考えてみます。直径が2万kmある、非常に大きな円盤を考えます。これは地球より大きいです（！）。円周はだいたい62831853.0718mになるでしょう。一方原子の大きさは一番小さい水素原子が0.1nmくらいです。これは0.0000000001mです。
そうなると、62831853.07179...の先はしばらく正確に続きますが、小数第10位のくらいから先は原子のでこぼこの影響のせいで、正確なまんまるとは違う結果になるでしょう。
これだと円周率はせいぜい20桁くらいしか求められないことになります。
いやいや、これからは宇宙の時代なんだから、星をいくつかつぶしてでも宇宙空間上に非常に大きい円盤を作って、それを測ればきっと何万桁でも計算できる、と思うかもしれません。なんたって宇宙は広いですからね。また、そのころには技術が発達して原子よりも小さな原子核で円盤を作れるようになるはずだ、と考えるかもしれません。なるほど、それはいいアイデアです。
では円の直径を1千億光年にしましょう。これは現在考えられている宇宙の直径よりも大きいです。1千億光年は、だいたい1兆x1兆kmです。また原子核の大きさは、原子の大きさの約1万分の1です。
そうすると、さっきの例と比べれば、小数点の下に4桁増えて、小数点の上に16桁増えることになります。結局これでも合計40桁くらいです。上に書いた50桁すら求められません。
この先もっと小さい素粒子の利用を考えるかもしれませんし、それも可能かもしれませんが、それでも100桁の達成すらどうも無理そうです。
そんなわけでこれ以上正確な円周率を計算するには、測定ではなくて、もっと数学的な方法使わないといけないわけです。

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数学的な計算方法

まだ書いていません。
(うわー、まだ書いてなかったのか！ 2007.04.01)

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リンク

http://www1.coralnet.or.jp/kusuto/PI/
- 円周率計算記録の歴史などが紹介されています。
- 16000桁、13万桁の計算結果も見られます。

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雑談

小学校のゆとり教育が始まったときに、円周率を3に近似するのは円を円に内接する正六角形に近似するのに相当するという批判があった。実は愚かにも僕もそれをすっかり信じた。しかしこれは少々おかしい気がする。正六角形の面積は、正三角形x6に等しいが、斜辺が1の正三角形の面積はsqrt(3)/4であって、これを6倍しても2.6にすら届かない（半径1の円の面積は円周率に等しい）。
いやおかしくなかった。円周で考えると、正六角形の周の長さは6だから、直径の2で割れば3なのか。なるほど。

となると日能研で紹介されていた東京大学の入試問題の、円周率が3.05以上あることを証明せよというのは、正12角形の周の長さを出せばいいのかな。それでも足りないのかな。足りなければ24角形だなあ。・・・いつか暇になったら計算しよう。

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こめんと欄

ルール違反でページを編集する荒らしが何度もきたので、当分の間このページは凍結します。コメントを書きたい場合はimpressionsへ。 -- K 2008-04-18 (金) 17:39:07
ちなみに凍結中でもこのようにコメントは書けますが、書き損じた場合に修正ができません。書き損じない自信があればここに書いてもいいです。 -- K 2008-04-18 (金) 17:42:59

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