素数に対する考察

  • (by K, 2009.03.17)

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  • 一般に素数というものは、1に対する乗算だけで全ての自然数を生成するときに必要となる整数のことである。数字の元素みたいな意味あいだろう。もちろん辞書とかには1とその数以外に約数をもたない数字のことって書いてあるだろうが、それは素数の「素」の意味が全然分からない。

(1)

  • そもそも乗算に限ることが不自然だ。他の演算ではどうだろう、ということを考えた。
  • 加算の場合、1だけあれば全ての自然数は作れる。そういう意味で素数は1だ。
  • 減算の場合、1だけあれば0や負の整数を生成できる。またそうやって作った-1を1から次々に引いていくことで、正の整数も生成できる。つまり、減算なら1だけで(もしくは-1でもよいが)、全ての整数を生成できる。
    • ちなみに加算で全ての整数を生成するためには、1だけではなく-1も使っていい事にすれば、全ての整数が得られる。
  • 乗算の場合は有名なので特に言うことはない。・・・が、しかしなぜ乗算で全ての整数を作らなければいけないのか。そもそも整数というのは、加減算で1から生成された数字の集合でしかなく、それを乗算でも再現しなければいけないという道理はない。ということで、整数の生成にこだわらないことにしよう。そうなれば、たとえば2があれば、2^nの整数は全部作れる。これは全ての自然数よりも少ないと思えるかもしれないがそんなことはない。2^nとnは1対1対応しているのだから、数の集合の規模としてはなんら引けを取らない。そして3や5や7を素数として導入していけば、もちろん全ての自然数が生成可能となる。これは言うまでもない。
  • また、もし素数としてsqrt(2)があれば、2は合成可能である。同じことは加算にも言える。1をやめて0.1を素数にすれば、1はもちろんのこと、整数のみならず1.2や5.9も生成可能になる。・・・しかしこれはきりがない。だからやめよう。とりあえず乗算におけるsqrt(2)や加減算における0.1みたいなケースは検討しないことにする。
  • 除算はどうか。2があれば、2を2で割ることで1が作れるし、1を2で割れば1/2(=0.5)が作れる。また2を1/2で割れば4が作れる。こうして、2^n型の有理数を生成できることになる。ここでnはすべての整数である。・・・そしてもちろん3や5や7を素数として導入していけば、全ての正の有理数が作れるようになる。

(2)

  • この調子で累乗における素数などを考察するのも一興だと思うが、ここではそれはしないで、別の方向に掘り下げてみる。加算では一つの素数では(=1だけでは)自然数しか作れなかった。でも減算なら一つの素数だけからでも全ての整数を生成できた。だから減算のほうが生成能力が高そうだ。そして減算だけでもっと高い生成能力を与えるにはどうすればいいかを考えてみよう。
  • たとえば1をどう減算しても1/2は作れないのは当然だ。じゃあ、1/2を素数に加えてみよう。こうすると1/2だけからでも1は作れるので、1は素数から追放することにする。また、1/2をどれだけ減算しても1/3は作れない。だからこれも素数に加えることにしよう。同様に1/4も1/5も1/6も導入しよう。こうして1/n型の全ての整数を素数とすれば、減算だけで全ての有理数を生成可能になる。・・・これはたいして面白い結果ではないが。
  • いや待て、1/4はたしかに作れないが、1/6は1/2-1/3で作れる。1/12も1/4-1/6で作れる。となると、素数は少し減らせるかもしれない。
  • まあ減算と除算を使ってもいいというルールにしてよければ、素数は1だけでいい。それで全ての有理数が作れる。・・・これも当たり前すぎて面白くない。
  • 除算だけでもし全ての有理数を生成させたければ、いわゆる素数に加えて0と-1を与えると良い。これで全ての有理数が生成の可能になる。しかし減算での考察を考慮に入れると、素数はそのままではなく1/2や1/3や1/5のように逆数の形で与えるべきなのかもしれない。そのほうが減算の場合と似ているというだけの理由だが。

(3)

  • 減算における素数を考えるとき、1があれば数直線上の全ての整数を生成できたが、これでは複素数は生成できない。逆にi(=sqrt(-1))だけを導入すると、複素平面上の虚数軸上の格子点のみの整数が生成できる。これらは原点0以外は共有点を持たない。またこれらは複素平面上で直交している。
  • これと同様なことが、減算における素数の1/2と1/3にいえるような気がする(単に感性の問題だが)。これは整数で共有点を持つが、それ以外は共有点を持たない。・・・もっというと、除算における素数でも2のみで生成される数の集合と3のみで生成される数の集合は直交しているような気がするのだ。そうすると素因数分解はその整数の2の成分と3成分と・・・を求めているだけということか(x成分、y成分みたいに思ってほしい)。でもなんか文章にして書いてみたら当たり前のことのように思えてきた。

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Last-modified: 2009-03-17 (火) 13:08:00 (4852d)