計算方法の理由

  • (by K, 2011.04.16)

(1)

  • たとえば、 -3-2 は -5 だが、なぜそうなるかが分からない人がいる。分数の掛け算では分子同士、分母同士を掛け算すればいいわけだけど、それもどうしてそうなのかが分からない人もいる。割り算では逆数をかければいいのだけど、どうしてそうなのかが分からない人もいる。
    • ついでに言うと地球が丸いことを知っていても、その証拠を何一つあげられない人もいる。
  • そういうのは「問題が解ける」というだけで、分かったことにはなっていないと僕は思う。本質が分かっていないので、応用力がない。逆に以下のような理屈が分かっていれば、計算上のテクニックなんて少し忘れてもどうにでもできる。実際僕は、数学の問題を解くのは非常に遅かった。記憶力が乏しかったせいだ。しかし時間さえあれば正解にたどり着いていた。

(2)

  • 負の数の足し算と引き算
    • まず、負の数とは何かを理解するべきだ。数はいろいろなものを表すことができるが、しかし万能ではない。負の数は借金も含めた資産や温度などを表すのに用いることができる。物の個数などを表すことはできない。だから「お皿の上に-3個のりんごが載っています」と言うことはできないし、そんなお皿を用意することはできない。でも資産や温度などを表現するのにこれほど便利なものはない。
      • ちなみに小数や分数も物の個数を表すためには使えない。小数や分数は物の量などを表すことには使える。たとえば一本のチョークを持ってきて、それを真ん中で折れば、それは2本になる。その片方はやっぱり1本であって0.5本などではない。個数はそのようには数えないのだ。個数には小数が使えない。
      • しかしそうであってもそのチョークを「新品のチョークの0.5本分の量」ということはできる。これは個数ではなく量を表しているからだ。チョークを折っていけば個数は増えるが、量は変わらない。
      • ということで何を表現するかで使える数字は変わってくる。虚数を「実在しない数」などという人がいるが、これは間違っている。虚数で表したほうが便利なものもある。数にはそれぞれ適用対象があって、それ以外で使おうとすればおかしなことになる。まずそれを理解しなければいけない。でも学校ではこれをきちんと教えていないようだ。
    • さて、では資産で考えよう。お金のことはみんな(なぜか)理解しやすい(笑)。1000といえば、それは銀行に1000円の貯金があるという意味で、-500といえばそれは500円の借金があることを意味する。いいかな?
    • 資産における正の数の足し算は、「銀行にお金を払うこと」を意味する。銀行にお金を払えば、貯金なら増えるし、借金なら減る。これは当然だ。きっと疑問に感じたりはしない。だから、1000+100は1100だし、-500+100は-400だ。これはいいだろう。銀行にお金を返したのに、500円の借金が600円の借金になったら、それはおかしいと思うのだ。このとおり400円の借金になるべきであって、200円や450円の借金になることもないはずだ。
    • 資産における正の数の引き算は、「銀行からお金を引き出すこと」を意味する。銀行からお金を引き出せば、貯金なら減るし、借金なら増える。これも当然だ。だから、1000-100は900だし、-500-100は-600だ。これに疑問を感じるだろうか。
      • 同じことを温度でやってもいい。15といえば氷ができる温度よりも15度高い温度で、-8といえば氷ができる温度よりも8度低い温度だとしよう。正の数の加算は温めて温度を上げるという行為だ。どのくらい温めるかは数値で表す。だから 15+2 は 17 で温かくなるし、 -8+2 は -6 でやはり温かくなっている。正の数の減算は冷やして温度を下げるということだ。だから -8-3 は -11 であって、 -5 などにはならない。 冷やしているのに温度が上がってはおかしいではないか。
    • こうしてみれば、 -3-2 が -5 になるのに疑問を感じることはない。
    • 今度は負の足し算だ。足し算は「銀行にお金を払うこと」を表現するのに利用できたが、実は二つの銀行に口座を持っているときの合計資産の計算にも使える。何を言っているのかよく分からなければ、要するにもし僕が、A銀行に1000円の貯金があって、B銀行に2000円の貯金があれば、合計で3000円の貯金を持っていることになるよね、という話だ。
    • じゃあこれが借金だったらどうだろう。1000円の借金と2000円の借金の合計で、3000円の借金になる。これがもし足し算で表現できれば、二つの銀行に口座を持っているときの合計資産の計算は、貯金も借金も関係なく「足し算」だけで計算できることになる。それは便利だ。だから -1000+(-2000) は -3000 なのだ。
    • 借金と貯金が混ざっていてもOKだ。 1000+(-2000) は -1000 だ。つまり1000円の貯金と2000円の借金があったら、それは合計すれば1000円の借金だということになる。これは正しい。
    • 学校では、 1+(-2) を 1-2 と変形して -1 という答えを出すと教えているかもしれない。確かにその変形は間違ってはいない。しかしそんな変形がどうしてできるのか、まずそれを説明しなければいけないだろう。数値が何を表しているのかを意識すれば、数値に意味が与えられて、このように理解することができる。
    • さて負の引き算は難しい。上記の例では、お金を銀行から引き出すことが引き算で表現できるとした。じゃあ2000円の借金を銀行から引き出せば、引き算をすることができる。しかし、たとえば1000円の預金があるときに2000円の借金を引き出すというのはどういうことか。まあ説明できなくはないのだが、非常にややこしい。
    • ということで、違う方法で説明することにする。まず、数が正の場合、同じ数を引き算すれば答えは0になる。つまり、 1-1 は 0 だし、4-4 も 0 だ。この性質は、数が負であっても成り立っていたらうれしい。正の数と負の数とでルールが違っていると、今まで正の数で作ってきた公式が負の数では使えなくなるかもしれない。それは不便だ。だから、従来のルールが使えるように負の数の引き算を決めたい。
    • ということは -1-(-1) は 0 だ。 -4-(-4) も 0 だ。・・・そうだとすると面白い性質に気が付く。そもそも -1 というのは1円の借金を意味していて、 0 というのは貯金も借金もないという状態を意味しているわけだが、つまり1円の借金があるときに「-1を引く」とその借金がチャラになっているのだ。借金をチャラにしているということは、1円を銀行に払うことではないか。ということは、「-1を引く」というのは「1を足す」ということに相当しているのだ。こう決めれば正の数と負の数とで同じルールが使えるようになる。
    • ということで、 -4-(-4) は -4+4 と変形されて 0 となる。 2-(-3) も 2+3 と変形されて 5 になる。引き算なのに、引く前より数字が増えるのは本当に変な感じだけど、でもそれはそういうものなのだ。同じ数を引き算すれば答えは0になるというルールを守るためにはこれしかないのだ。
  • 負の数の掛け算
    • 普通の掛け算を復習する。2*3というのは2が3個集まったら合計でいくつになるか、という計算である。つまり、 2+2+2 で答えは 6 だ。じゃあ (-2)*3というのはどうか。3つの銀行に借金があって、その合計はいくらかということだ。もちろんこれは-6、つまり6円の借金だ。これで「負の数*正の数」というタイプについては問題ない。
    • 次に「正の数*負の数」だ。 500*(-3) を例にとって考えよう。これはひどい。-3個なんて意味が分からない。仕方ないので、これもルールで考えることにする。以下のような表を作ってみた。
      • 500*3=1500
      • 500*2=1000
      • 500*1=500
      • 500*0=0
      • 500*(-1)=?
      • 500*(-2)=??
      • 500*(-3)=???
    • 個数が減っていくと、答えは500ずつ減っている。このパターンが-1個や-2個でも続くとしよう。そうだとすれば、 500*(-1) は -500 である。同様に 500*(-2) は -1000であるし、 500*(-3) は -1500 である。
    • もしくは次のような説明もできる。正の数同士の掛け算では、かける数とかけられる数を入れ替えても答えは変わらなかった。 2*5 は 10 だが、 5*2 も 10 なのだ。これは実は不思議なことなのだが、それは後でまた触れよう。それで、このルールがもし負の数でも成り立つのなら(そうあってほしいわけだが)、 500*(-3) は (-3)*500 となり、-3が500個集まったらいくつになるか、という問題に変形される。その答えは-1500だ。
    • どちらの方法でも同じ答えになった。どちらも正の数で成り立っていたルールやパターンを負の数でも使えるようにするためにはどういう答えであるべきかを考えて、それで答えを導いただけだ。
    • さて「負の数*負の数」というタイプはどうだろう。(-2)*(-3)などだ。これは強烈だ。まず、かける数とかけられる数を交換しても状況は改善しない。(-3)*(-2)だから。ということで表を作ろう。
      • (-2)*3=-6
      • (-2)*2=-4
      • (-2)*1=-2
      • (-2)*0=0
      • (-2)*(-1)=?
      • (-2)*(-2)=??
      • (-2)*(-3)=???
    • これをみると、答えは2ずつ増えている。だからどうやら (-2)*(-1) は 2 なのではないかと推測される。そして (-2)*(-3) は 6 のようだ。
    • まあこんなわけで、マイナスかけるマイナスはプラスになる。それはなぜかといえば、正の数で成り立っていた掛け算の性質を保つようにすると、そうなってしまうからだ。それ以外の説明はない。
      • なんとなれば、負の数を導入するときに掛け算をもっと勝手に定義することもできたはずだ。新しい数を導入したのだから、その演算規則だってどう決めたっていいのだ。しかし現在のように定義されたのは、それまでの計算則に反しないようにするためであった。そうしておけば便利だからだ。
    • 参考リンク:
      • http://www7a.biglobe.ne.jp/~number/page102.html
      • このページは分配法則を破らないようにして負の数の積がいくつになるべきかを考えている。でもそこまで複雑な法則を理解しなくても、僕のように説明することができる。
      • http://www.faireal.net/articles/7/05/#d30208
      • 説明その1は、「あべこべふえーる」が(-2)倍の装置であることが分からない。マイナスが「反対」を意味するという根拠がない。だから一見よさそうな説明だけど不十分だと僕は思う。
      • 説明その2も「反対」を使っている。
      • 僕の説明では、「負の数というのは0よりさらに少ない数」ということしか使ってない。3の反対が-3なんていう説明はどこにもない。それは負の数の定義でもないと僕は思う。
      • 「反対」というのは物事の方向を表しているのだが、確かに負の数を使うと方向を表現できる。しかしそれはそれまで正の数だけで暮らしてきた人にとってすんなり受け入れられる概念ではないだろう。
  • 負の数の割り算
    • 普通の割り算を復習する。600/2というのは、600円を2人に公平に分けたら一人がもらえる金額はいくらか、ということだ。ここから出発しよう。
    • 父親が600万円の借金を残していなくなってしまった。借金を残された子2人で等分したら、もちろん一人が背負うのは300万円の借金だ。だから、 (-600万)/2=-300万 。これで「負の数/正の数」のタイプの割り算はOKだろう。
    • 次は「負の数/負の数」をやろう。・・・じゃあまた普通の例から。ここに600円がある。一人100円もらえるとしたら、何人が受け取れるか?・・・これは 600/100 で答えは6人だと分かる。
    • これの借金版を作ろう。またしても600万円の借金がある。これを何とかして家族親族で返さないといけなくなった。一人で請け負える借金が200万円だとしたら、何人の家族親族を集めなければいけないだろうか?・・・答えはもちろん3人だ。これを数式で書けば、 (-600万)/(-200万)=3 ということだ。
    • さて最後は「正の数/負の数」だ。これが一番難しい。 6/(-2) というのはいったいいくつか。これはまたしてもそれまでのルールを使うしかない。たとえば 6/2=3 だが、割り算の答えに割る数をかけると、割る前の数字に戻るという性質がある。つまり 3*2=6 ということだ。これはどんな正の数の割り算でも成り立つ。
    • これが負の数でも成り立つとしよう。そうだとすれば、とりあえず 6/(-2)=x として、 x*(-2)=6 ということだ。ある数に-2を掛けると6になるらしい。ある数とは何だろう?・・・そう-3である。それしかない。
    • だから 6/(-2) の答えは -3 なのだ。

(3)

  • 加算の交換法則
    • これはつまり、 3+5 と 5+3 の答えは同じということだ。足し算は足す順序を変えても答えが変わらない。これは、太郎くんがりんごを3個持ってきて、次郎くんが5個持ってきて、りんごは全部でいくつかという問題に相当する。太郎のりんごの個数に次郎のりんごの個数を加えても、逆に次郎の個数に太郎の個数を加えても、答えは同じ8だ。まあそれはそうだろう。「あれ?太郎のりんごから数え始めたほうが多くなるよ」ということはないのだ。
      • もし多く数えるテクニックがあるのだとしたら、僕はそれを知りたい。そうすればお金を多く数えられるではないか(笑)。
    • 引き算では交換法則は成り立たない。 3-5 と 5-3 の答えは違う。
  • 乗算の交換法則
    • これは 3*5 と 5*3 の答えが同じだということだ。掛け算も掛ける順番を変えても答えが変わらない。これは最初、僕には意外だった。自明とは思えない。「3が5個」と「5が3個」というのは意味が違う気がするのだ。どうしていつも同じ結果になるのだろう。不思議だ。
    • しかし学校で面積を習うようになって納得した。長方形の面積はたてと横の長さの積だが、たてと横を入れ替えた長方形を考えても、面積は変わらない。同じ形だからだ。それで僕は大いに納得した。
      • まあそのためには、「なぜたてと横の長さを掛け算するだけで面積が求められるのか」を理解しなければいけないのだが、それはまた後述する。

こめんと欄


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Last-modified: 2011-04-18 (月) 13:05:20 (2830d)